&esp;&esp;研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。

&esp;&esp;赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。

&esp;&esp;作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。

&esp;&esp;内积空间中的内积可以定义范数，而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。

&esp;&esp;所以，沈奇基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下：

&esp;&esp;“巴拿赫空间x的一个非空子集c称为逼近紧的，是指对任意{xn}∞n=1∈c及任意y∈x，如果使得

&esp;&esp;‖xn-y‖→dist（y，c）=f{‖xn-y‖：x∈c}，

&esp;&esp;那么{xn}∞n=1就存在一个柯西列，称x是逼近紧的，且x的每个闭凸子集是逼近紧。”

&esp;&esp;“思路逐渐清晰，沈奇你认为一个巴拿赫空间x是逼近紧的当且仅当它具备drop性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。

&esp;&esp;巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支，是一个有难度的领域，不适合初学者接触。

&esp;&esp;“没错。”沈奇和穆勒交流起来非常通畅，聪明人不废话，数学家不啰嗦。

&esp;&esp;“需要我做什么？”穆勒教授问到，并没有摆出教授及导师的架子，他视沈奇为平等的学术合作伙伴，就如当年的哈代和拉马努金、高斯和黎曼、欧拉和拉格朗日、欧几里得和阿基米德。

&esp;&esp;在学术上平等对待徒弟的师傅，往往能跟弟子一同载入史册。酷爱消灭徒弟的毕达哥拉斯，他在数学史上的声望评价为负分。

&esp;&esp;沈奇说到：“巴拿赫空间的rnp性质和鞅理论分析就拜托穆勒教授了，你是这方面的专家。”

&esp;&esp;“ok，那我们还等什么？分头干活吧，争取一个月之后合稿。”穆勒教授亲力亲为，这毕竟是他最先提出来的一个定理，他要亲手完成这项跨越三十几个春秋、渗透复杂感情的课题。

&esp;&esp;“ok。”沈奇收拾好资料，准备离开穆勒的办公室，去完成人生中第一个以自己姓氏命名的数学定理。

&esp;&esp;“对了，明天你去带导修课，这是我的教案备份和学生信息，你熟悉一下。”穆勒递给沈奇一个又厚又重的文件袋。

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